On bounded sequences and series convergence in Banach abstract space.
Roberto D'Angiò
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Sommario
Sono date due differenti dimostrazioni di una condizione sufficiente per la convergenza delle successioni e la sommabilità delle serie nello spazio di Banach astratto. Tale condizione consiste in una nozione di limitatezza per successioni che risulta essere "più profonda" della nozione ordinaria in ciò: che (a) ogni successione limitata in tale senso più profondo lo è anche nel senso ordinario mentre non vale la proposizione inversa e (b) ogni successione limitata in tale senso più profondo è convergente mentre una successione convergente è limitata in tale senso se e solo se una particolare condizione è verificata. AMS 1991 subject classification. Primary 40A05, 40C05, 40D05, 40G05; secondary 41A65. Key words and phrases: Banach space, Cauchy sequence, bounded sequence, Cesàro-Hölder mean.
Abstract
Two proofs are given of a sufficient condition for sequence convergence and series summability in Banach abstract space. Such a condition amounts to a notion of sequence boundedness, called d-boundedness, which is deeper than ordinary boundedness in that: that (a) any d-bounded sequence is bounded whereas the converse does not hold, and (b) any d-bounded sequence is convergent whereas a convergent sequence is d-bounded if and only if a particular condition is met. AMS 1991 subject classification. Primary 40A05, 40C05, 40D05, 40G05; secondary 41A65. Key words and phrases: Banach space, Cauchy sequence, bounded sequence, Cesàro-Hölder mean.