Lognormal returns, efficient frontier, and shortfall constraint
Luca Ghezzi
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Si considera l’uso della frontiera efficiente nell’ambito di un problema di gestione passiva. Un portafoglio aggregato viene ribilanciato una volta all’anno in modo da ripristinare i pesi percentuali della sua allocazione strategica; i suoi rendimenti totali annui sono per ipotesi indipendenti e lognormalmente distribuiti. Estendendo precedenti risultati teorici, si mostra come un insieme a minima varianza associato ai rendimenti semplici si trasformi in un insieme a minima varianza associato ai rendimenti logaritmici. Secondo i risultati teorici ottenuti, che hanno una validità generale, portafogli inefficienti in termini di rendimenti semplici non possono trasformarsi in portafogli efficienti in termini di rendimenti logaritmici, mentre portafogli efficienti in termini di rendimenti semplici possono pure trasformarsi in portafogli inefficienti in termini di rendimenti logaritmici. Nel secondo caso, sono possibili 2 differenti andamenti qualitativi, entrambi illustrati avvalendosi di dati storici. Inoltre, si estende l’approccio con vincolo di ammanco al caso di portafoglio avente rendimenti lognormali. Ogni rendimento soglia può essere trasformato in un montante soglia avente la stessa probabilità di ammanco; coeteris paribus, più distante è l’orizzonte temporale, minore è la probabilità di ammanco. Poiché il procedimento analitico è agevole, può risultare utile nella pratica professionale, specialmente per gli analisti finanziari e gli investitori istituzionali.
Abstract
An efficient frontier model is derived within a problem of passive management. An aggregate portfolio is rebalanced annually to restore the percent weights of its strategic asset allocation; its annual total returns are assumed to be independent and lognormally distributed. Expanding on previous theoretical results, it is shown how a minimum-variance set based on simple returns turns into a minimum-variance set based on logarithmic returns. According to the attendant theoretical results, which have a general validity, inefficient portfolios based on simple returns cannot turn into efficient portfolios based on logarithmic returns, whereas efficient portfolios based on simple returns can also turn into inefficient portfolios based on logarithmic returns. In the latter instance, there can be two different qualitative patterns, both of which are portrayed by using historical data. Moreover, the shortfall constraint approach is extended to the case of lognormal portfolio returns. Each threshold return can be turned into a threshold accumulation that has the same shortfall probability; coeteris paribus, the more distant the time horizon, the smaller the shortfall probability. As our procedure is analytically tractable, it might be operationally useful, especially to financial advisors and institutional investors.