LIUC Papers n. 104, aprile 2002 - Etica, diritto ed economia, 6

Fuzzy norms, default reasoning and equilibrium selection in games under unforeseen contingencies and incomplete knowledge

Lorenzo Sacconi, Stefano Moretti

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Sommario

Oggetto di questo articolo è il ruolo delle norme nell'emergenza e selezione di punti di equilibrio concepiti come convenzioni in presenza di eventi imprevisti , cioè nell'emergenza di regolarità di comportamento autovincolanti cui agenti limitatamente razionali aderiscono effettivamente a causa degli incentivi all'autoimposizione da esse generati. Vengono definite due versioni di un gioco base (demand game) in ciascuna delle quali si assume che i giocatori conoscano che una data soluzione (norma) è conoscenza condivisa. Viene quindi introdotta la situazione base di conoscenza incompleta assumendo che la Natura selezioni gli stati del mondo nei quali una delle due versioni del gioco deve essere giocata. Tuttavia alcuni di questi stati sono imprevisti, cosicchè i giocatori, quando la Natura fa la sua scelta, fronteggeranno stati che ex post essi sanno siano accaduti, ma che ex ante erano solo vagamente descritti nei termini della loro conoscenza delle regole del gioco. Le contingenze impreviste vengono in tal modo modellate come stati che appartengono ad eventi definiti nei termini della base di conoscenza ex ante solo mediante funzioni di appartenenza fuzzy. I giocatori devono decidere qualche strategia giocare in questa caratteristica situazione di mancanza di informazione chiara, cioè in condizioni di vaghezza in merito al gioco giocato. La loro informazione è sintetizzata da una misura di appartenenza fuzzy che induce una distribuzione di possibilità, ma non consente loro di possedere la conoscenza condivisa della norma (soluzoine) che viene giocata nel gioco dato. Di conseguenza non si può dire che tutti conoscano che un certo equilibrio verrà giocato e non si può concludere che i giocatori debbano adottare la loro risposta ottima appartenente alla soluzione d'equilibrio data. A questo punto entra in scena un processo di ragionamento default, che ricorre alla formulazione della logica dei default che, sulla scorta di Zadeh, è stata proposta da Dobois, Prade e Benferhat . Al primo passo di un processo ricorsivo di ragionamento ogni giocatore calcola la sua risposta ottima alla conoscenza vaga, in termini di una funzione di utilità attesa fuzzy, ove l'utilità fuzzy è considerata in congiunzoine con una misura di possibilità sugli stati imprevisti. Al secondo passo ogni giocatore deve indovinare il proccesso di ragionamento eseguito dall'altro e, forse sbagliando, egli attribuisce per default all'avversario il suo proprio schema di ragionamento, che egli considera “il corso normale delle cose”, dal momento che non è al corrente di nessuna falsificazione di questo scehema di ragionamento. Ciò è realizzato con la codifica della base di conoscenza e delle regole di default che i giocatori hanno sul gioco – enunciati come “normalmente giocatori razionali hanno qusta informazione” o “normalmente un giocatore che ha tale informazione usa la tale strategia in un gioco come questo” – mediante formule di un linguaggio formale sulle quali siamo in grado di indurre un ordinamento di possibilità. Tale ordinamento rappresenterà i vincoli sulle credenze imposti dalle regole di default che estendono la base di conoscenza dei giocatori. Al terzo passo possiamo perciò calcolare la seconda risposta ottima di ciascun giocatore data la ricostruzione del ragionamento simmetrico dell'altro giocatore e le conseguenti nuove assegnazioni di possibilità sulle azoini della controparte in ciascun stato del mondo. Ciò conduce a nuove risposte ottime in termini di utlità fuzzy attesa. L'iterazione della procedura non cambia di qui in poi l'insieme delle scelte predette. Cosicchè possimamo dire che il ragionamento default possibilistico si stabilizzerà su una coppia di scelte che costituisce uno degli equilibri base del gioco. Si conclude che l'equilibrio risultante sarà sostenuto da ciò che nella logica default è chiamata “estensione” di una teoria data - il che viene caratterizzato come un punto fisso, che si ottiene applicando ripetutamemnte alla teoria l'insieme delle regole di inferenza default accettate senza introdurre nessuna incoerenza. Bisogna considerare che la logica default è non-monotona, e lascia spazio agli errori e alle revisioni, il che sembra un tratto caratteristico della razionalità limitata.

Abstract

This paper concerns the role that norms play in the emergence and selection of equilibrium points seen as social conventions under unforeseen contingencies – that is in the emergence of regularities of behaviour which are self-enforcing and effectively adhered to by limited rational agents due to their self-policing incentives. We define two version of a basic demand game such that in each of them players know that a given solution (norm) is shared knowledge (the Nash product and the typical non cooperative solution of a DP – both coinciding to equilibrium points of the demand game). The basic incomplete knowledge situation is then introduced by assuming that a move of Nature selects states of world where one of the two versions of the basic game will be played. However some of the states of the world that nature may choose are unforeseen. Thus players, when nature has made its choice, will face states that they ex post know to occurs, but that are vaguely described in terms of their ex ante knowledge about the rules of the game. Unforeseen contingencies are then modelled as states that can belong to events defined in terms of the ex ante base of knowledge only through fuzzy membership functions. Players must decide which strategy to play under this characteristic lack of clear information, i.e. under vagueness on the game they are going to play. Their information is resumed by a fuzzy measure of membership that induces a possibility distribution but does not allow them a shared knowledge of the norms (solution), which is played in the given game. Consequently there is no basis at this stage to infer that everybody know that a given equilibrium will be played and to conclude that a player must use his best response belonging to a given equilibrium solution. A default reasoning process here enters the scene, based on the reformulation of default logic in terms of possibility theory given - after Zadeh - by Dubois, Prade and Benferhat. At the first step of the recursive reasoning process, each player's first hypothetical choice, given the basic vague knowledge about the game they are going to play, is calculated in term of a fuzzy expected utility function - where fuzzy utility is considered in conjunction with a possibility measure on unforeseen states. At the second step, each player must guess the simultaneous reasoning process performed by the counterpart. Maybe fallibly, each player attributes by default to the other player his own scheme or reasoning, because it seems to himself the most “normal course of facts” - since he does not know about any falsification of this scheme of reasoning. This is provided by encoding the knowledge base that players have on the game and their default rules of inference - enunciates like “normally players own such information” or “normally a player who owns such information plays strategy such and such in a game like this” - by the formulae of a formal language on which we are able to induce a possibility ordering. The ordering will represent constraints on what the players believe as the “normal course of facts”, which are imposed by the default rules that extends the players' base of knowledge. Then, at the third step we may calculate each player second hypothetical choice given the reconstruction of the other player symmetrical reasoning and the ensuing new possibility assignment on the counterpart's action under any game in each state. This carries to a new best response for each of them in fuzzy expected utility terms. Iterating the procedure will not change the set of predicted choices. So that we can conclude that the default-possibilistic reasoning will stabilize in a couple of strategy choices that constitutes one of the basic games' equilibrium points. We end up by suggesting that the resulting equilibrium will be supported by what in default logic is called the extension of a given theory - which is characterised as a fixed point - obtained by iterately applying to it the set of accepted defaults, without introducing a contradiction. Is to be noted that default logic is non-monotonic, and allows for mistakes and revisions, which seems to belong to the very nature of bounded rationality.

 
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